Dziemieszkiewicz urodził się 25 stycznia 1925 w Zagrobach. W czasie okupacji uczęszczał na kursy tajnego nauczania w Makowie Mazowieckim, pracując jednocześnie w niemieckim przedsiębiorstwie przewozowym.

Wiosną 1945 r. został wcielony do 1 zapasowego pułku piechoty w Warszawie, skąd na wiadomość o śmierci brata, zamordowanego w czasie napadu rabunkowego dokonywanego przez żołnierzy sowieckich w październiku 1945, zdezerterował i zbiegł na teren powiatu ciechanowskiego.

Wkrótce wstąpił do oddziału NSZ-NZW ppor. Mariana Kraśniewskiego „Burzy”, przybierając pseudonim „Rój”. Początkowo był łącznikiem między komendą okręgu a komendą powiatu. W 1948 r. został awansowany do stopnia starszego sierżanta. Na polecenie dowódcy kompanii Mariana Koźniewskiego „Waltera”, wobec masowych aresztowań dokonywanych przez UB w Ciechanowie, stworzył patrol Pogotowia Akcji Specjalnej NZW, którego został dowódcą. Jako dowódca patrolu PAS dowodził wieloma akcjami przeciw komunistom, siłom bezpieczeństwa oraz ich agenturze.

Oddział „Roja” zabił łącznie 12 funkcjonariuszy UB (w tym szefa PUBP w Ciechanowie por. Tadeusza Mazurowskiego), MO i członków ORMO oraz ponad 20 współpracowników UB i KBW. W starciach i potyczkach z oddziałem poległo kilkunastu żołnierzy KBW.

Do śmierci Mieczysława Dziemieszkiewicza przyczyniła się jego narzeczona. UB przetrzymujący jej rodziców szantażem zmusił ją do wydania „Roja”. Żołnierz zginął w trakcie próby przedarcia się z podwładnym Bronisławem Gniazdowskim ps. „Mazur”, przez obławę 270 żołnierzy z 1 Brygady KBW i nieustalonej liczby funkcjonariuszy UB i MO.

Dziemieszkiewicz zm. 13/14 kwietnia 1951 w Szyszkach.

8 sierpnia 1945 został odznaczony Krzyżem Walecznych.

13 października 2007, za wybitne zasługi dla niepodległości Polski, prezydent RP Lech Kaczyński odznaczył pośmiertnie Mieczysława Dziemieszkiewicza Krzyżem Komandorskim z Gwiazdą Orderu Odrodzenia Polski. Został również odznaczony Krzyżem Narodowego Czynu Zbrojnego.